Question

在底面直径和高均为2R的圆锥内作一内接圆柱，当圆柱的底面半径和高分别为多少时，它的体积最大？

Answer 1

【答案】分析：如图：作出圆锥的轴截面，设出内接圆柱的高h，底面半径r和体积V；建立V（r）的函数解析式，利用导数的性质求函数V（r）的最大值．
解答：解：如图，作出圆锥的轴截面，
设圆柱的高为h，
底面半径为r（0＜r＜R），体积为V，
则=，
∴h=2（R-r），
∴V=πr²h=2πr²（R-r）．
=2πRr²-2πr³．
∴V′=4πRr-6πr²，
令V′=0，得r=R，
∴当r=R时，圆柱的体积V取得最大值，
此时圆柱的高h=2（R-R）=R．
点评：本题考查建立函数模型的能力，通过函数的解析式，利用导数的性质求函数的最值问题，是中档题．