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如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AA1AD1ECD的中点.

(1)求证:B1EAD1.

(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.

(3)若二面角AB1EA1的大小为30°,求AB的长.

 

1)见解析(232

【解析】(1)A为原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).设ABa,则A(00,0)D(0,1,0)D1(0,1,1)

EB1(a,0,1)

(0,1,1)(a,0,1).

·=-×01×1(1)×10

B1EAD1.

(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0z0)(0≤z0≤1)

使得DP平面B1AE.此时(0,-1z0)

又设平面B1AE的法向量n(xyz)

nn,得.

x1,得平面B1AE的一个法向量n

要使DP平面B1AE,只要n,有az00

解得z0.

DP?平面B1AE

存在点P,满足DP平面B1AE,此时AP.

(3)连接A1DB1C,由长方体ABCDA1B1C1D1AA1AD1,得AD1A1D.

B1CA1D

AD1B1C.

又由(1)B1EAD1,且B1CB1EB1

AD1平面DCB1A1

是平面A1B1E的一个法向量,此时(0,1,1)

n所成的角为θ,则

cos θ.

二面角AB1EA1的大小为30°

|cos θ|cos 30°,即

解得a2AB的长为.2

 

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