Question

已知T是半圆O的直径AB上一点，AB=2，OT=t（0＜t＜1）．以AB为腰的直角梯形AA₁B₁B中，AA₁垂直于AT，且|AA₁|=|AT|，BB₁垂直于BT，且|BB₁|=|BT|，A₁B₁交半圆于P，Q两点，建立如图所示直角坐标系，O为坐标原点．
（Ⅰ）求直线A₁B₁的方程；               
（Ⅱ）求P，Q两点的坐标；
（Ⅲ）证明：由点P发出的光线PT，经AB反射后，反射光线通过点Q．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据AB=2，OT=t（0＜t＜1）．以AB为腰的直角梯形AA₁B₁B中，AA₁垂直于AT，且|AA₁|=|AT|，BB₁垂直于BT，且|BB₁|=|BT|，可求得A₁，B₁的坐标，从而可求直线A₁B₁的方程；
（Ⅱ）半圆O的方程为：x²+y²=1（-1≤y≤0）将y=tx-1代入，化简得：（1+t²）x²-2tx=0，从而可求P，Q的坐标；
（Ⅲ）kPT=

0+1

t-0

=

1

t

，kQT=

t2-1 1+t2 -0

2t 1+t2 -t

=

t2-1

2t-t-t3

=-

1

t

，从而直线PT，QT的斜率互为相反数，所以直线PT，QT的倾斜角互补，故得证．

解答：解：（Ⅰ）∵AB=2，OT=t（0＜t＜1）．以AB为腰的直角梯形AA₁B₁B中，AA₁垂直于AT，且|AA₁|=|AT|，BB₁垂直于BT，且|BB₁|=|BT|，
∴A₁（1，t-1），B₁（-1，-t-1）
∴直线A₁B₁的方程：

y-t+1

-1-t-t+1

=

x-1

-1-1

∴y=tx-1
（Ⅱ）半圆O的方程为：x²+y²=1（-1≤y≤0）
将y=tx-1代入，化简得：（1+t²）x²-2tx=0
∴x=0或x=

2t

1+t2

当x=0时，y=-1；当x=

2t

1+t2

时，y=

t2-1

1+t2

∴P（0，-1），Q(

2t

1+t2

，

t2-1

1+t2

)
（Ⅲ）证明：∵kPT=

0+1

t-0

=

1

t

，kQT=

t2-1 1+t2 -0

2t 1+t2 -t

=

t2-1

2t-t-t3

=-

1

t

∴直线PT，QT的斜率互为相反数
∴直线PT，QT的倾斜角互补
∴由点P发出的光线PT，经AB反射后，反射光线通过点Q．

点评：本题以圆为载体，考查直线方程，考查直线与圆的交点问题，同时考查学生分析解决问题的能力，有综合性．