Question

已知函数f（x）=ax²-2x+2a，任意x∈（1，4），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用

分析：任意x∈（1，4），f（x）＞0恒成立，即求f（x）=ax²-2x+2a在[1，4]上的最小值，从而将恒成立问题化为最值问题，对函数f（x）=ax²-2x+2a首先讨论是不是二次函数，再讨论开口方向及对称轴的位置以确定函数的单调性，从而求最值．共分五类进行讨论．

解答： 解：①若a=0，则f（x）＞0可化为-2x＞0，
故不能使任意x∈（1，4），f（x）＞0恒成立；
②若a＜0，则f（x）=ax²-2x+2a在[1，4]上是减函数，
则任意x∈（1，4），f（x）＞0恒成立可化为
f（4）≥0，即18a-8≥0，无解；
③若0＜

2

2a

≤1，即a≥1时，
f（x）=ax²-2x+2a在[1，4]上是增函数，
则任意x∈（1，4），f（x）＞0恒成立可化为
f（1）≥0，即3a-2≥0，
解得，a≥1；
④若1＜

2

2a

＜4，即

1

4

＜a＜1时，
f（x）=ax²-2x+2a的最小值在对称轴上取得，
即任意x∈（1，4），f（x）＞0恒成立可化为
f（

2

2a

）＞0，即

1

a

-

2

a

+2a≥0，
解得，

2

2

＜a＜1；
⑤

2

2a

≥4，即0＜a＜

1

4

时，
f（x）=ax²-2x+2a在[1，4]上是减函数，
即任意x∈（1，4），f（x）＞0恒成立可化为
f（4）≥0，即18a-8≥0，无解；
综上所述，实数a的取值范围为（

2

2

，+∞）．

点评：本题考查了恒成立问题的处理方法，一般要化为最值问题，同时考查了函数f（x）=ax²-2x+2a的讨论，即分类讨论的数学思想，属于中档题．