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精英家教网如图,在五面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线的交点,△ABF、△CDE是等边三角形,CD=1,EF=
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BC=1,EF∥BC,M为EF的中点.
(1)证明MO⊥平面ABCD;
(2)求二面角E-CD-A的余弦值;
(3)求点A到平面CDE的距离.
分析:(1)取AB,CD的中点为P,Q.连接PQ,EQ,FP.说明EFPQ为等腰梯形.证明CD⊥平面EFPQ推出CD⊥MO,又CD和PQ相交,即可证明MO⊥面ABCD
(2)由(1)可知∠EQP为二面角E-CD-A的平面角,通过cos∠EQP=
NQ
EQ
=
3
3
即可.
(3)因为AB∥平面CDE所以P点到平面CDE的距离等于A点到平面CDE的距离.过点P作PH⊥EQ于点H,说明PH的长为点P到平面CDE的距离.由cos?EQP=
3
3
,求出PH=PQsin∠EQP=
2
6
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解答:精英家教网(1)证明:取AB,CD的中点为P,Q.连接PQ,EQ,FP.则P,O,Q三点共线
且PQ∥BC又因为EF∥BC所以有EF∥PQ且FP=EQ.所以EFPQ为等腰梯形.
所以有MO⊥PQ,CD⊥EQ CD⊥PQ,PQ∩CQ=Q
所以CD⊥平面EFPQ
所以CD⊥MO,又CD和PQ相交,
所以有MO⊥面ABCD
解:(2)由(1)可知∠EQP为二面角E-CD-A的平面角
过E点作EN⊥PQ于点N,则N为OQ的中点.
cos∠EQP=
NQ
EQ
=
3
3

(3)因为AB∥平面CDE所以P点到平面CDE的距离等于A点到平面CDE的距离.过
点P作PH⊥EQ于点H,则PH^CD,又CD交EQ于Q.所以PH⊥平面CDE.
所以PH的长为点P到平面CDE的距离.
由cos?EQP=
3
3
sin∠EQP=
6
3
,PH=PQsin∠EQP=
2
6
3
点评:本题是中档题,考查直线与平面的垂直,空间线面关系、二面角的度量等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力
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(Ⅱ)求五面体ABCDEFG的体积.

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如图,在五面体ABCDE中,平面BCD⊥平面ABC,DC=DB=
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,AC=BC=2ED=2,AC⊥BC,且ED∥AC    
(1)求证:平面ABE⊥平面ABC
(2)在线段BC上有一点F,且BF=
1
2
,求二面角F-AE-B的余弦值.

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(Ⅱ)求五面体ABCDEFG的体积.

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