Question

已知函数f（x）=log_a（1-x）+log_a（x+3）（0＜a＜1）
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的零点；
（3）若函数f（x）的最小值为-4，求a的值．

Answer 1

解：（1）要使函数有意义：则有，解之得：-3＜x＜1，
则函数的定义域为：（-3，1）
（2）函数可化为f（x）=log_a（1-x）（x+3）=log_a（-x²-2x+3）
由f（x）=0，得-x²-2x+3=1，
即x²+2x-2=0，
∵，∴函数f（x）的零点是
（3）函数可化为：
f（x）=log_a（1-x）（x+3）=log_a（-x²-2x+3）=log_a[-（x+1）²+4]
∵-3＜x＜1，∴0＜-（x+1）²+4≤4，
∵0＜a＜1，∴log_a[-（x+1）²+4]≥log_a4，
即f（x）_min=log_a4，由log_a4=-4，得a^-4=4，
∴
分析：（1）根据对数的真数大于零，列出不等式组并求出解集，函数的定义域用集合或区间表示出来；
（2）利用对数的运算性质对解析式进行化简，再由f（x）=0，即-x²-2x+3=1，求此方程的根并验证是否在函数的定义域内；
（3）把函数解析式化简后，利用配方求真数在定义域内的范围，再根据对数函数在定义域内递减，求出函数的最小值log_a4，得log_a4=-4利用对数的定义求出a的值．
点评：本题是关于对数函数的综合题，考查了对数的真数大于零、函数零点的定义和对数型的复合函数求最值，注意应在函数的定义域内求解．