Question

【题目】在直角梯形中，，，，为的中点，如图将沿折到的位置，使，点在上，且，如图2．

求证：平面；

求二面角的正切值；

在线段上是否存在点，使平面？若存在，确定的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 为 的中点.

【解析】

（法一）

（1）由题意可知，题图中，易证，由根据直线与平面垂直的判定定理可得平面；

（2）三垂线法：由考虑在上取一点，使得，从而可得，所以平面，过作交于，连接，为二面角的平面角，在中求解即可；

（3）取中点，所以，又由题意，从而可得，所以有平面.

（法二：空间向量法）

（1）同法一；

（2）以为原点建立直角坐标系，易知平面的法向为，求平面的法向量，代入公式求解即可；

（3）由平面，所以，利用向量数量积的坐标表示，可求出结果.

（1）证明：在题图中，由题意可知，，为正方形

所以在题图中，，，且四边形是边长为的正方形

因为，，所以平面

又平面，所以

又，所以平面

（2）在上取一点，使，连接

因为，所以

所以平面

过作交于，连接

则平面

所以

所以为二面角的平面角，

在中，，，，

即二面角的正切值为

（3）当为中点时，平面

理由如下：取的中点，连接交于

连接，

所以，又由题意

平面，平面

所以平面

即当为的中点时，平面

解法二：（1）同方法一

（2）如图，以A为原点建立直角坐标系

，，，，，

易知平面的法向量为

设平面的法向量为，且

由，得：

令，得：，；则

所以

所以

即二面角的正切值为

设存在，使得平面

设

所以，由平面

所以，所以

即，即为的中点