Question

【题目】已知圆C:，直线 ，过的一条动直线与直线相交于N，与圆C相交于P,Q两点，M是PQ中点．

(1)当时，求直线的方程；

(2)设，试问是否为定值,若为定值,请求出的值；若不为定值，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）或 （2）

【解析】

（1）过A（﹣1，0）的一条动直线l．应当分为斜率存在和不存在两种情况；当直线l与x轴垂直时，进行验证．当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），由于弦长，利用垂径定理，则圆心C到弦的距离|CM|=1．从而解得斜率K来得出直线l的方程为；

（2）同样，当l与x轴垂直时，要对设t=，进行验证．当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），代入圆的方程得到一个二次方程．充分利用“两根之和”和“两根之积”去找．再用两根直线方程联立，去找．从而确定t=的代数表达式，再讨论t是否为定值．

(1) 当直线与轴垂直时,

易知符合题意;

当直线与轴不垂直时,

设直线的方程为,

由于,

所以由,

解得.

故直线的方程为或

(2)当与轴垂直时,易得,,又则

,故. 即

当的斜率存在时,设直线的方程为,代入圆的方程得

.

则 ,

即, .

又由得,

则.

故.

综上,的值为定值,且

解法二（几何法）:

连结,延长交于点，计算CA斜率知.又于,

故△∽△.于是有.

由得

故