Question

【题目】如图，△ABC为一个等腰三角形形状的空地，腰CA的长为3（百米），底AB的长为4（百米）．现决定在空地内筑一条笔直的小路EF（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为S1和S2 ．
（1）若小路一端E为AC的中点，求此时小路的长度；
（2）求 的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为：AE=CE= AE+4＞CE+3 所以F不在BC上，

AE+AF+EF=CE+CB+FB+EF

所以AE=CE AF=CB+BF 4﹣BF=BF+3 BF=

cosA= =

所以EF2=AE2+AF2﹣2AE×AF×cosA=

所以EF=

E为AC中点时，此时小路的长度为 百米

（2）解：若E、F分别在AC和AB上，

sinA=

设AE=x，AF=y，

所以S2= xysinA=

S1=S三角形ABC﹣S2=2 ﹣S2

因为x+y=3﹣x+4﹣y+3

所以x+y=5

= ﹣1

xy≤

当且仅当x=y= 时取等号

所以 =

当且仅当x=y= 时取等号

最小值是

若E、F分别在AC和BC上，

sinC=

设CE=x，CF=y

同上可得 ≥

当且仅当x=y= 取等号

若E、F分别在AC和BC上，最小值是

【解析】（1）根据题意可知F不在BC上，根据余弦定理求出cosA的值，然后根据余弦定理求出EF的长即可；（2）若E、F分别在AC和AB上，设AE=x，AF=y，然后利用三角形的面积公式求出S2和S1=S三角形ABC﹣S2=，再根据基本不等式求出比值的最值即可，若E、F分别在AC和BC上，设CE=x，CF=y，同上根据基本不等式求出比值的最值即可．
【考点精析】本题主要考查了函数的最值及其几何意义的相关知识点，需要掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值才能正确解答此题．