Question

【题目】如图所示，菱形与正三角形所在平面互相垂直， 平面，且， .

（1）求证： 平面；

（2）若，求几何体的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）3.

【解析】试题分析：（1）过点作于，连接，可证四边形为平行四边形，可得，根据线面平行的判定定理即可证明平面；（2）若，利用分割法，将几何体分成两个棱锥，结合棱锥的体积公式即可求几何体的体积.

试题解析：（1）如图所示，过点作于，连接，

∵为正三角形， ，∴.

∵平面⊥平面， 平面，平面平面，

∴平面.

又∵平面， ，∴.

∴四边形为平行四边形，∴.

∵平面 ， 平面，∴平面.

（2）连接，由题意得为正三角形，∴.

∵平面⊥平面，平面，平面平面，

平面.∵，平面 ， 平面，∴平面，

同理，由可证平面，

∵， 平面， 平面，

∴平面∥平面，∴到平面的距离等于的长.

∵为四棱锥的高，

∴

.