设函数
(1)设,,证明:在区间内存在唯一的零点;
(2) 设,若对任意,有,求的取值范围;
(3)在(1)的条件下,设是在内的零点,判断数列的增减性.
(1) 见解析;(2);(3)见解析.
解析试题分析:(1) 先根据零点存在性定理判断在在内存在零点,在利用导数说明函数在上是单调递增的,从而说明在区间内存在唯一的零点;(2)此问可用两种解法:第一种,当时,,根据题意判断出在上最大值与最小值之差,据此分类讨论如下:(ⅰ)当;(ⅱ)当;(ⅲ)当,综上可知,;第二种,用表示中的较大者,直接代入计算即可;(3)先设出零点,然后根据在上是递增的得出结论.
试题解析:(1),时,
∵,∴在内存在零点. 又当时, ,∴ 在上是单调递增的,所以在内存在唯一零点.
(2)当时, ,对任意都有等价于在上最大值与最小值之差,据此分类讨论如下:(ⅰ)当,即时, ,与题设矛盾
(ⅱ)当,即时, 恒成立
(ⅲ)当,即时, 恒成立.
综上可知,
注:(ⅱ)(ⅲ)也可合并证明如下:
用表示中的较大者.当,即时,
恒成立 .
(3)证法一 设是在内的唯一零点
,,
于是有
又由(1)知在上是递增的,故, 所以,数列是递增数列.
证法二 设是在内的唯一零点
则的零点在内,故
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)是定义在[-3,3]上的奇函数,且当x∈[0,3]时,f(x)=x|x-2|
⑴在平面直角坐标系中,画出函数f(x)的图象
⑵根据图象,写出f(x)的单调增区间,同时写出函数的值域.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
对于定义域为的函数,如果存在区间,同时满足:
①在内是单调函数;②当定义域是,值域也是,则称是函数
的“好区间”.
(1)设(其中且),判断是否存在“好区间”,并
说明理由;
(2)已知函数有“好区间”,当变化时,求的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设函数.
(1)在区间上画出函数的图象 ;
(2)设集合. 试判断集合和之间
的关系,并给出证明 ;
(3)当时,求证:在区间上,的图象位于函数图象的上方.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数满足,且 在上恒成立.
(1)求的值;
(2)若,解不等式;
(3)是否存在实数,使函数在区间上有最小值?若存在,请求出实数的值;若不存在,请说明理由.
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