Question

【题目】若实数a，b，c，d满足 = =1，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵实数a，b，c，d满足 = =1 可得b=﹣lna+2a2 ， d=3c﹣2，
分别令y=f（x）=﹣lnx+2x2 ， y=g（x）=3x﹣2，
转化为两个函数f（x）与g（x）的点之间的距离的最小值，
f′（x）=﹣ +4x，设与直线y=3x﹣2平行且与曲线f（x）相切的切点为P（x0 ， y0），
则﹣ +4x0=3，x0＞0，解得x0=1，可得切点P（1，2），
切点P（1，2）到直线y=3x﹣2的距离d= = ．
∴（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为d2= ．
所以答案是： ．
【考点精析】掌握函数的最值及其几何意义是解答本题的根本，需要知道利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值．