Question

【题目】如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，且BC=2AB═4，∠ABC=60°，点E是PD的中点．
（1）求证：AC⊥PB；
（2）当二面角E﹣AC﹣D的大小为45°时，求AP的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，

∴AC⊥PA，

∵BC=2AB═4，∠ABC=60°，

∴AC= =2 ，

∴AC2+AB2=BC2，∴AB⊥AC，

∵PA∩AB=A，∴AC⊥平面PAB，

∵PB平面PAB，∴AC⊥PB．

（2）解：以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，

设AP=t，则P（0，0，t），D（2 ，2，0），E（ ），C（2 ，0，0），A（0，0，0），

=（2 ，0，0）， =（ ），

设平面ACE的法向量 =（x，y，z），

则 ，取z=2，得 =（0，﹣t，2），

平面ACD的法向量 =（0，0，1），

∵二面角E﹣AC﹣D的大小为45°，

∴cos45°= = ，

解得t=2．∴AP=2．

【解析】（1）推导出AC⊥PA，AB⊥AC，从而AC⊥平面PAB，由此能证明AC⊥PB．（2）以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AP．
【考点精析】认真审题，首先需要了解空间中直线与直线之间的位置关系(相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点)．