Question

一束光线从点F₁（-1，0）出发，经直线l：2x-y+3=0上一点D反射后，恰好穿过点F₂（1，0），
（1）求以F₁、F₂为焦点且过点D的椭圆C的方程；
（2）从椭圆C上一点M向以短轴为直径的圆引两条切线，切点分别为A、B，直线AB与x轴、y轴分别交于点P、Q．求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据题意，设并求出点F₁关于直线l：2x-y+3=0的对称点A的坐标，则由对称的意义，可得|PF₁|=|PA|，根据椭圆的定义变形可得2a=|PF₁|+|PF₂|=|AF₂|，代入数据可得a的值，进而由题意可得c的值，计算可得b的值，即可得答案；
（2）先根据题意设M（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；分析可得直线AB方程为x₀x+y₀y=1，进而可以表示出P、Q的坐标，由两点间的距离公式，结合不等式，分析可得答案．

解答：解：（1）设点F₁关于直线l：2x-y+3=0的对称点A（m，n），
则

n m+1 =- 1 2 2• m-1 2 - n 2 +3=0

，
解得

m=- 9 5 n= 2 5

，
则A（-

9

5

，

2

5

）
∵|PF₁|=|PA|，根据椭圆的定义，得2a=|PF₁|+|PF₂|=|AF₂|=

(- 9 5 -1)2+( 2 5 -0)2

=2

2

，
∴a=

2

，c=1，b=

2-1

=1．
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．

（2）设M（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

x 2 0

2

+

y

2 0

=1，切线AM、BM方程分别为x₁x+y₁y=1，x₂x+y₂y=1，
∵切线AM、BM都经过点M（x₀，y₀），
∴x₁x₀+y₁y₀=1，x₂x₀+y₂y₀=1．
∴直线AB方程为x₀x+y₀y=1，
∴P(0，

1

y0

)、Q(

1

x0

，0)，
|PQ|2=

1

x 2 0

+

1

y 2 0

=(

1

x 2 0

+

1

y 2 0

)(

x 2 0

2

+

y

2 0

)=

1

2

+1+

x 2 0

2 y 2 0

+

y 2 0

x 2 0

≥

3

2

+

2

=(

2 +1

2

)2，
当且仅当

x

2 0

=

2

y

2 0

时，上式等号成立．
∴|PQ|的最小值为

2+ 2

2

．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，是一道综合题目，解本类题目时，注意认真分析题意，结合有关的直线、圆的性质，进行分析计算，可以减小运算量．