Question

下列命题中，真命题是

1. A.
   ?x∈R，sinx+cosx=1.5
2. B.
   ?x∈（0，+∞），e^x＞x+1
3. C.
   ?x∈R，x²+x=-1
4. D.
   ?x∈（0，π），sinx＞cosx

Answer 1

B
分析：利用辅助角公式可将sinx+cosx化为正弦型函数的形式，进而根据三角函数的值域判断A的真假，构造函数y=e^x-x+1，根据导数法求出函数的单调性进而求出值域，可判断B的真假，根据二次函数的值域，可判断C的真假，构造函数sinx-cosx进而转化为正弦型函数的形式，进而根据三角函数的值域判断D的真假．
解答：∵sinx+cosx=sin（x+）∈[-，]
∴A“?x∈R，sinx+cosx=1.5”为假命题；
∵当x∈（0，+∞）时，函数y=e^x-x+1的导函数
y′=e^x-1＞0，故函数y=e^x-x+1在区间（0，+∞）上单调递增
∴y=e^x-x+1＞y|_x=0=2
即e^x＞x+1恒成立，故B“?x∈（0，+∞），e^x＞x+1”恒成立；
∵x²+x=（x+）²-≥-
∴C“?x∈R，x²+x=-1”为假命题；
∵当x∈（0，），sinx＜cosx
∴D“?x∈（0，π），sinx＞cosx”为假命题；
故选B
点评：本题考查的知识点是命题真假判断与应用，函数的值域，其中根据各种基本初等函数的值域，判断四个答案的真假是解答本题的关键．