Question

已知函f（x）=e^x-x （e为自然对数的底数）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）不等式f（x）＞ax的解集为P，若M={x|

1

2

≤x≤2}且M∩P≠∅求实数a的取值范围；
（3）已知n∈N⁺，且S_n=∫_n⁰f（x）dx，是否存在等差数列{a_n}和首项为f（I）公比大于0的等比数列{b_n}，使得a₁+a₂+…+a_n+b₁+b₂+…b_n=S_n？若存在，请求出数列{a_n}、{b_n}的通项公式．若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）∵函数f（x）=e^x-x，对f（x）求导，令f′（x）=0，得x=0，从而求得函数f（x）的最小值；
（2）由M={x|

1

2

≤x≤2}且M∩P≠∅，得f（x）＞ax在区间[

1

2

，1]有解，即e^x-x＞ax，可得a＜

ex

x

-1在[

1

2

，2]上有解，故令g（x）=

ex

x

-1，x∈[

1

2

，2]，求导得，g′（x）=

(x-1)ex

x2

，利用导数可求得g（x）在[

1

2

，2]上的最大值为
g（2），从而得a的取值范围；
（3）设存在公差为d的等差数列{a_n}和公比为q（q＞0），首项为f（1）的等比数列{b_n}，使得a₁+a₂+…+a_n+b₁+b₂+…b_n=S_n，则由s_n=∫_O^Nf（x）dx，得s_n，由b₁=f（1）=e-1，且a₁+b₁=s₁，可得a₁，又n≥2时，a_n+b_n=s_n-s_n-1=e^n-1（e-1）-n+

1

2

故n=2，3时，有

- 1 2 +d+(e-1)q=e(e-1)- 3 2    ① - 1 2 +2d+(e-1)q2=e2(e-1)- 5 2 ②

可解得q=e，从而得d=-1，所以求得a_n，b_n；得到满足条件的数列{a_n}，{b_n}．

解答：解：（1）∵函数f（x）=e^x-x，∴f′（x）=e^x-1；由f′（x）=0，得x=0，当x＞0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当x＜0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（-∞，0）上单调递减；∴函数f（x）的最小值为f（0）=1．
（2）∵M∩P≠∅，∴f（x）＞ax在区间[

1

2

，1]有解，由f（x）＞ax，得e^x-x＞ax，即a＜

ex

x

-1在[

1

2

，2]上有解；
令g（x）=

ex

x

-1，x∈[

1

2

，2]，则g′（x）=

(x-1)ex

x2

，∴g（x）在[

1

2

，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增；
又g（

1

2

）=2

e

-1，g（2）=

e2

2

-1，且g（2）＞g（

1

2

），∴g（x）的最大值为g（2）=

e2

2

-1，∴a＜

e2

2

-1．
（3）设存在公差为d的等差数列{a_n}和公比为q（q＞0），首项为f（1）的等比数列{b_n}，
使a₁+a₂+…+a_n+b₁+b₂+…+b_n=S_n
∵Sn=

∫

n 0

f(x)dx=

∫

n 0

(ex-x)dx=(ex-

1

2

x2)|_n=en-

1

2

n2-1；且b₁=f（1）=e-1，
∴a1+b1=S1即a1+e-1=e-

3

2

；∴a₁=-

1

2

，又n≥2时，a_n+b_n=s_n-s_n-1=e^n-1（e-1）-n+

1

2

；
故n=2，3时，有

- 1 2 +d+(e-1)q=e(e-1)- 3 2    ① - 1 2 +2d+(e-1)q2=e2(e-1)- 5 2 ②

；
②-①×2得，q²-2q=e²-2e，解得q=e，或q=2-e（舍），故q=e，d=-1；
此时a_n=-

1

2

+（n-1）（-1）=

1

2

-n，bn=(e-1)en-1且an+bn=(e-1)en-1+

1

2

-n=Sn-Sn-1；
∴存在满足条件的数列{a_n}，{b_n}满足题意．

点评：本题综合考查了利用导数求函数的最值问题，集合关系，定积分求值问题，函数与数列的综合应用问题，属于较难的问题；解题时需要认真分析，细心解答，避免出错．