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(2006•宝山区二模)已知Sn是各项均为正数的递减等比数列{an}的前n项之和,且a2=
1
2
S3=
7
4

(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设y=f(x)是偶函数,当x≤0时,f(x)=log2(x+1),求f(x)的定义域D及其解析式;
(3)对于任意正整数n及(2)中的f(x),若不等式f(x)+Sn<0恒成立,求x的取值范围.
分析:(1)设数列{an}的公比为q,由题意可得方程组,联立解得a1,q,可得通项公式;(2)由对数函数的意义可得定义域,由函数的奇偶性可得解析式;(3)由(1)知Sn单调递增,且
lim
n→∞
Sn=2
,必有有f(x)+2≤0恒成立,分x≤0和x>0分别讨论可得.
解答:解:(1)设数列{an}的公比为q,
由题意可知a2=a1q=
1
2

S3=
a1(1-q3)
1-q
=
7
4

联立解得a1=1,q=
1
2

故可得通项公式为:an=(
1
2
)n-1
…(4分)
(2)由题意,当x≤0时,x+1>0,即x>-1,
又因为y=f(x)是偶函数,
所以D=(-1,1),…(6分)
设x∈(0,1)时,-x∈(-1,0),
故f(-x)=log2(-x+1),
由偶函数可得f(x)=log2(-x+1),
故可得解析式为:f(x)=
log2(1-x),0<x<1
log2(1+x),-1<x≤0
…(9分)
(3)由(1)知Sn单调递增,且
lim
n→∞
Sn=2

因而,若f(x)+Sn<0恒成立,
则有f(x)+2≤0恒成立.…(11分)
①当x≤0时,由log2(x+1)+2≤0解得-1<x≤-
3
4
…(13分)
②当x>0时,由log2(1-x)+2≤0解得
3
4
≤x<1
…(15分)
综上,当x∈(-1,-
3
4
]∪[
3
4
,1)
时,f(x)+Sn<0恒成立.…(16分)
点评:本题考查等比数列的通项公式,涉及函数解析式的求解以及函数恒成立问题,属中档题.
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x2
4
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