Question

5．已知函数f（x）=-$\frac{2x}{1+2x{\;}^{2}}$（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$），求证：函数f（x）是减函数．

Answer 1

分析 由函数单调性的定义法，设-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤x₁＜x₂≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，作出变形得出f（x₁）-f（x₂）＞0即可．

解答 证明：设-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤x₁＜x₂≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2{x}_{2}}{1+2{{x}_{2}}^{2}}$-$\frac{2{x}_{1}}{1+2{{x}_{1}}^{2}}$
=$\frac{2{x}_{2}（1+2{{x}_{1}}^{2}）-2{x}_{1}（1+2{{x}_{2}}^{2}）}{（1+2{{x}_{2}}^{2}）（1+2{{x}_{1}}^{2}）}$
=$\frac{2{x}_{2}-2{x}_{1}+4{{x}_{1}}^{2}{x}_{2}-4{x}_{1}{{x}_{2}}^{2}}{（1+2{{x}_{2}}^{2}）（1+2{{x}_{1}}^{2}）}$
=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）+4{x}_{1}{x}_{2}（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（1+2{{x}_{2}}^{2}）（1+2{{x}_{1}}^{2}）}$
=$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）（2{x}_{1}{x}_{2}-1）}{（1+2{{x}_{2}}^{2}）（1+2{{x}_{1}}^{2}）}$＞0
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）是减函数

点评 本题考查函数的单调性的判定和证明，涉及定义法判函数的单调性，属基础题．