Question

（本小题满分14分）
已知函数（为自然对数的底数），，,．
（1）判断函数的奇偶性,并说明理由；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）证明：对任意实数和，且，都有不等式
成立．

Answer 1

解: （1） 函数的定义域为，
且
∴函数是奇函数.                                          ………………2分
（2）
………………3分
当时，且当且仅当时成立等号，故在上递增；
………………4分
当时，，令得或，
故的单调递增区间为或；         ………………5分
当时，，令得或，
故的单调递增区间为或．          ………………6分
（3）不妨设,
,
                             ………………7分    
令,则只需证                 ………………8分
先证, 由（2）知在上递增,
∴当时，                                        
∴，从而由知成立；              ………………10分
再证，即证：，
令，则是减函数，
∴当时，，从而成立.            ………………13分
综上，对任意实数和，且，都有不等式
成立.     ………………14分

略