Question

已知函数f（x）=2sin²（+x）-cos2x，
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）当x时，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=[1-cos（+2x）]-cos2x
=1+sin2x-cos2x
=1+2sin（2x-）…（4分）
∴最小正周期T=π…（5分）
由+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z
得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z
∴单调递减区间为[+kπ，+kπ]k∈Z…（8分）
（2）∵x∈[，]，
∴≤2x-≤，
即2≤1+2sin（2x-）≤3，
∴f（x）_max=3，f（x）_min=2．…（12分）
分析：（Ⅰ）由两角和与差的正弦函数将f（x）=[1-cos（+2x）]-cos2x化为f（x）=1+2sin（2x-），利用正弦函数的性质即可求f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）由x∈[，]，可求得2x-的范围，从而可得f（x）的最大值和最小值．
点评：本题考查两角和与差的正弦，考查辅助角公式的应用，突出考查正弦函数的性质，属于中档题．