Question

（本小题满分12分）
正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁的底面边长是，侧棱长是3，点E、F分别在BB₁、DD₁上，且AE⊥A₁B，AF⊥A₁D．

（1）求证：A₁C⊥面AEF；
（2）求截面AEF与底面ABCD所成二面角的正切值．

Answer 1

证明：（1）连接，
正四棱柱  
通过，同理可得：    
；
（2）。

试题分析：证明：（1）连接

正四棱柱 ------2分
又 
 -------4分
同理可得：    
--------------------6分
（2） ∽
-------8分
又  底面边长是，侧棱长是3
  --------9分
得  ，
同理    -----------（10分）
又 ， --------------12分
证法二 建立空间直角坐标系（略）
点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则能简化证明过程。