Question

已知函数f（x）=ke^x-x²（其中k∈R，e是自然对数的底数）．
（Ⅰ）若k=-2，试判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），求k的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试证明0＜f（x₁）＜1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求f（x）的导数f′（x），利用f′（x）判定f（x）的单调性，从而求出f（x）的单调区间；
（Ⅱ）先求导数f′（x），由题意知x₁、x₂是方程f′（x）=0的两个根，令φ(x)=

2x

ex

，利用导数得到函数φ（x）的单调区间，继而得到k的取值范围；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f′（x₁）=0，则得k=

2x1

ex1

，又由f（x₁）=-（x₁-1）²+1，x₁∈（0，1），即可得到0＜f（x₁）＜1．

解答：解：（Ⅰ）若k=-2，f（x）=-2e^x-x²，则f'（x）=-2e^x-2x，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）=-2e^x-2x＜0，
故函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数．
（Ⅱ）函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，则x₁，x₂是f′（x）=ke^x-2x=0的两个根，
即方程k=

2x

ex

有两个根，设φ(x)=

2x

ex

，则φ′(x)=

2-2x

ex

，
当x＜0时，φ′（x）＞0，函数φ（x）单调递增且φ（x）＜0；
当0＜x＜1时，φ′（x）＞0，函数φ（x）单调递增且φ（x）＞0；
当x＞1时，φ′（x）＜0，函数φ（x）单调递减且φ（x）＞0．
要使k=

2x

ex

有两个根，只需0＜k＜φ(1)=

2

e

，
故实数k的取值范围是(0，

2

e

)．
（Ⅲ）由（Ⅱ）的解法可知，函数f（x）的两个极值点x₁，x₂满足0＜x₁＜1＜x₂，
由f′(x1)=kex1-2x1=0，得k=

2x1

ex1

，
所以f(x1)=kex1-

x

2 1

=

2x1

ex1

ex1-

x

2 1

=x1(2-x1)=-

x

2 1

+2x1=-(x1-1)2+1，
由于x₁∈（0，1），故0＜-(x1-1)2+1＜1，
所以0＜f（x₁）＜1．

点评：本题考查了利用函数的性质求参数取值与利用导数证明不等式成立的问题，是容易出错的题目．