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【题目】已知函数f(x)=xe2x﹣lnx﹣ax.
(1)当a=0时,求函数f(x)在[ ,1]上的最小值;
(2)若x>0,不等式f(x)≥1恒成立,求a的取值范围;
(3)若x>0,不等式f( )﹣1≥ e + 恒成立,求a的取值范围.

【答案】
(1)解:a=0时,f(x)=xe2x﹣lnx,

∴函数f′(x)在(0,+∞)上是增函数,

又函数f′(x)的值域为R,

x0>0,使得f′(x0)=(2x0+1)e =0,

又∵ ,∴ ,∴当x∈[ ,1]时,f′(x)>0,

即函数f(x)在区间[ ,1]上递增,∴


(2)解:

由(1)知函数f′(x)在(0,+∞)上是增函数,且x0>0,使得f′(x0)=0,

进而函数f(x)在区间(0,x0)上递减,在(x0,+∞)上递增,

﹣lnx0﹣ax0

由f′(x0)=0,得:(2x0+1)e ﹣a=0,

,∴f(x0)=1﹣lnx0﹣2x02

x>0,不等式f(x)≥1恒成立,

∴1﹣lnx0﹣2x02e ≥1,∴lnx0+2x02 ≤0,

设h(x0)=lnx0+2x e ,则h(x0)为增函数,且有唯一零点,设为t,

则h(t)=lnt+2t2e2t=0,则﹣lnt=2t2e2t,即

令g(x)=xex,则g(x)单调递增,且g(2t)=g( ),

则2t=ln ,即

∵a=(2x0+1) 在(0,t]为增函数,

则当x0=t时,a有最大值, =

∴a≤2,∴a的取值范围是(﹣∞,2]


(3)解:由f( )﹣1≥

∴xlnx﹣x﹣a≥ ,∴a 对任意x>0成立,

令函数g(x)=xlnx﹣x﹣ ,∴

当x>1时,g′(x)>0,当0<x<1时,g′(x)<0,

∴当x=1时,函数g(x)取得最小值g(1)=﹣1﹣ =﹣1﹣

∴a≤﹣1﹣

∴a的取值范围是(﹣∞,﹣1﹣


【解析】(1)a=0时, ,由此利用导数性质能求出函数f(x)在[ ,1]上的最小值.(2) ,函数f(x)在区间(0,x0)上递减,在(x0 , +∞)上递增,由x>0,不等式f(x)≥1恒成立,得lnx0+2x02 ≤0,由此能求出a的取值范围.(3)由f( )﹣1≥ ,得a 对任意x>0成立,令函数g(x)=xlnx﹣x﹣ ,则 ,由此利用导数性质能求出a的取值范围.

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常喝

不常喝

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不肥胖

18

总计

30

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(2)是否有99.5%的把握认为青少年的肥胖与常喝碳酸饮料有关?
独立性检验临界值表:

P(K2k0

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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