Question

18．已知a，b为两个正实数，点（x，y）满足0＜x＜a，0＜y＜b，则使得式子$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+（b-y）^{2}}$+$\sqrt{（a-x）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（a-x）^{2}+（b-y）^{2}}$取最小值的点（x，y）的坐标是（$\frac{a}{2}$，$\frac{b}{2}$）．

Answer 1

分析 根据两点间的距离公式的几何意义，所求为矩形内的点到四个顶点距离和的最小值，由此得到所求点是矩形的对角线交点．

解答 解：因为式子$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+（b-y）^{2}}$+$\sqrt{（a-x）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（a-x）^{2}+（b-y）^{2}}$表示（x，y）到（0，0），（a，0），（0，b），（a，b）四个点的距离和，
所以当点（x，y）为以此四点为顶点的矩形的对角线交点时，式子式子$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+（b-y）^{2}}$+$\sqrt{（a-x）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（a-x）^{2}+（b-y）^{2}}$取最小值，
所以取最小值的点（x，y）的坐标是（$\frac{a}{2}$，$\frac{b}{2}$）；
故答案为：（$\frac{a}{2}$，$\frac{b}{2}$）．

点评 本题考查了两点之间的距离公式的几何意义；关键是明确已知式子的几何意义解答．