Question

已知抛物线C：y²=ax的焦点为F，点K（-1，0）为直线l与抛物线C准线的交点，直线l与抛物线C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．
（1）求抛物线C的方程．
（2）证明：点F在直线BD上；
（3）设，求△BDK的面积．

Answer 1

解：（1）∵点K（-1，0）为直线l与抛物线C准线的交点，
∴-，a=4，由此能求出抛物线C的方程y²=4x．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₁，-y₁），l的方程为x=my-1（m≠0）．将x=my-1代入y²=4x并整理得y²-4my+4=0，
从而y₁+y₂=4m，y₁y₂=4．
直线BD的方程为，
即令y=0，得
所以点F（1，0）在直线BD上
（3）由①知，x₁+x₂=（my₁-1）+（my₂-1）=4m²-2，
x₁x₂=（my₁-1）（my₂-1）=1，因为，，
=8-4m²
故，解得m=，
所以l的方程为3x+4y+3=0，3x-4y+3=0，
又由①知故．
分析：（1）由点K（-1，0）为直线l与抛物线C准线的交点，知-，a=4，由此能求出抛物线C的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₁，-y₁），l的方程为x=my-1（m≠0）．将x=my-1代入y²=4x并整理得y²-4my+4=0，再由韦达定理能够证明点F（1，0）在直线BD上．
（3）由x₁+x₂=（my₁-1）+（my₂-1）=4m²-2，x₁x₂=（my₁-1）（my₂-1）=1，知，，=8-4m²，由此能够导出△BDK的面积．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意合理地进行等价变换．