Question

3．已知定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）的函数f（x）是偶函数，且f（2）=0，又函数y=$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上是减函数，则不等式f（x）＞0的解集为（　　）

• A． （-2，0）∪（2，+∞）
• B． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• C． （-2，0）∪（0，2）
• D． （-∞，-2）∪（0，2）

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，则g（-2）=g（2）=0，函数y=g（x）在（0，+∞）上是减函数，且是奇函数，再分类讨论，即可得到不等式f（x）＞0的解集．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，则g（-2）=g（2）=0，函数y=g（x）在（0，+∞）上是减函数，且是奇函数
∴x＞0时，g（x）＞0，可得x＜2，∴f（x）＞0的解集为（0，2）；
x＜0时，g（x）＜0，可得x＞-2，∴f（x）＞0的解集为（-2，0）；
∴不等式f（x）＞0的解集为（-2，0）∪（0，2）．
故选：C．

点评 本题考查不等式f（x）＞0的解集，考查函数的性质，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．