Question

（2013•烟台一模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右顶点A（2，0），离心率为

3

2

，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知P（异于点A）为椭圆C上一个动点，过O作线段AP的垂线l交椭圆C于点E，D，求

|DE|

|AP|

的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据A（2，0）是椭圆C的右顶点，可得a=2，利用

c

a

=

3

2

，可得c=

3

，从而b²=a²-c²=4-3=1，故可得椭圆C的方程；
（Ⅱ）当直线AP的斜率为0时，可得

|DE|

|AP|

=

1

2

；当直线AP的斜率不为0时，设出直线AP、DE的方程，分别与椭圆方程联立，求出|AP|，|DE|，进而利用导数，即可确定

|DE|

|AP|

的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）因为 A（2，0）是椭圆C的右顶点，所以a=2．
又

c

a

=

3

2

，所以 c=

3

．
所以 b²=a²-c²=4-3=1．
所以椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．…（3分）
（Ⅱ）当直线AP的斜率为0时，|AP|=4，DE为椭圆C的短轴，则|DE|=2，所以

|DE|

|AP|

=

1

2

．…（5分）
当直线AP的斜率不为0时，设直线AP的方程为y=k（x-2），P（x₀，y₀），
则直线DE的方程为y=-

1

k

x．…（6分）
由

y=k(x-2) x2 4 +y2=1

得x²+4[k（x-2）]²-4=0，即（1+4k²）x²-16k²x+16k²-4=0．
所以2+x0=

16k2

4k2+1

，所以 x0=

8k2-2

4k2+1

．…（8分）
所以 |AP|=

(x 0-2)2+(y 0-0)2

=

(1+k2)(x 0-2)2

，即 |AP|=

4 1+k2

4k2+1

．
类似可求|DE|=4

1+k2 k2+4

．
所以

|DE|

|AP|

=

4 1+k2 k2+4

4 1+k2 4k2+1

=

4k2+1

k2+4

．…（11分）
设t=

k2+4

，则k²=t²-4，t＞2．
∴

|DE|

|AP|

=

4(t2-4)+1

t

=

4t2-15

t

(t＞2)．
令g(t)=

4t2-15

t

(t＞2)，则g′(t)=

4t2+15

t2

＞0．所以 g（t）是一个增函数．
所以 

|DE|

|AP|

=

4t2-15

t

＞

4×4-15

2

=

1

2

．
综上，

|DE|

|AP|

的取值范围是[

1

2

，+∞)．…（13分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．