分析 (1)先令x=y=0得f(0)=0,再令y=-x得f(-x)=-f(x);
(2)直接运用函数单调性的定义和作差法证明;
(3)运用单调性求函数的最值;
(4)应用函数的奇偶性和单调性解不等式.
解答 解:(1)因为实数x,y∈R均有f(x)+f(y)=f(x+y),
令x=y=0得,f(0)+f(0)=f(0),所以,f(0)=0,
再令y=-x得,f(0)=f(x)+f(-x),所以,f(-x)=-f(x),
故f(x)为奇函数;
(2)任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1>x2,
f(x1)-f(x2)=f[(x1-x2)+(x2)]-f(x2)
=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)
因为x1-x2>0,所以f(x1-x2)<0,
因此,f(x1)<f(x2),
故f(x)为R上的单调减函数;
(3)因为函数f(x)在R上单调递减,
所以,f(x)min=f(4),f(x)max=f(-3),
又因为f(1)=-2,所以f(4)=f(2)+f(2)=4f(1)=-8,
f(-3)=-f(3)=-[f(1)+f(1)+f(1)]=6,
所以,函数在[-3,4]上的最大值为6,最小值为-8;
(4)因为f(8)=f(4)+f(4)=-16,所以,f(-8)=16,
所以,原不等式可化为:f[(x-4)+(2-x2)]≤f(-8),
即,(x-4)+(2-x2)≥-8,
即x2-x-6≤0,解得x∈[-2,3],
即该不等式的解集为:[-2,3].
点评 本题主要考查了抽象函数奇偶性,单调性的判断和证明,以及应用函数的单调性和奇偶性确定函数的值域和解不等式,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | {2,4,6,8} | B. | {1,2,5} | C. | {1,2,4,6,8} | D. | {4,6} |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 1 | B. | 2 | C. | $\frac{5}{2}$ | D. | 3 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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