Question

如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是矩形，AB=2，AD=1，顶点D₁在底面ABCD上的射影O是CD的中点，侧棱与底面所成的角为60°．
（I）求证：BO⊥平面D₁AO；
（II）求点O到平面AA₁D₁D的距离；
（III）求二面角C-AD₁-O的大小．

Answer 1

证明：（I）∵D₁在平面ABCD上的射影为O，
∴OD₁⊥平面ABCD，
∴OD₁⊥OB…（2分）
∵点O为DC的中点，DC=2，
∴OC=1，
又∵BC=1，∠DCB=90°，
∴OB⊥OA…（4分）
∵D₁O∩AO=O，
∴OB⊥平面D₁AO…（5分）
解：（II）∵D₁O⊥平面ABCD，
∴D₁O⊥AD
又∵AD⊥DO，∴AD⊥平面D₁DC
AD?平面ADD₁A₁，
∴平面D₁DO⊥平面ADD₁A₁
在平面D₁OD内，作OH⊥DD₁，垂足为H，则OH⊥平面ADD₁A₁．
∴线段OH的长为点O到平面ADD₁A₁的距离…（7分）
∵D₁O⊥平面ABCD，∴DD₁在平面ABCD上的射影为DO．
∴∠D₁DO为侧棱DD₁与平面ABCD所成的角．
∴∠D₁DO=60°…（9分）
在Rt△ODH中，OH=ODsin60°=．
即：点O到平面ADD₁A₁的距离为…（10分）
（III）如图，作CM⊥AO于M，作MN⊥AD₁于N，连接CN
∵D₁O⊥平面ABCD，∴D₁O⊥MC
又∵MC⊥AO，∴MC⊥平面AOD₁
又∵MN⊥AD₁，AD₁?平面AOD₁，∴CN⊥AD₁∴∠CNM为二面角C-AD₁-O的平面角，…（13分）
在Rt△OCM中，OC=1，∠MOC=45°，∴．
在△ACD₁中，CD₁=2，，
取D₁C的中点E，连接AE，则AE⊥D₁C，∴AE=2∴，∴
在Rt△CMN中，∴．
二面角C-AD₁-O的大小为．…（16分）
分析：（I）由已知中，顶点D₁在底面ABCD上的射影O是CD的中点，我们根据线面垂直的性质，易得OD₁⊥OB，又及等腰三角形三线合一的性质，可得OB⊥OA，进而由线面垂直的性质得到BO⊥平面D₁AO；
（II）由O到平面ADD₁A₁的距离（I）中结论D₁O⊥平面ABCD，可得D₁O⊥AD，结合AD⊥DO，由线面垂直及面面垂直的判定定理可得平面D₁DO⊥平面ADD₁A₁，则平面D₁OD内，作OH⊥DD₁，垂足为H，则OH即为点O到平面ADD₁A₁的距离，解Rt△ODH，即可得到点O到平面AA₁D₁D的距离；
（III）作CM⊥AO于M，作MN⊥AD₁于N，连接CN，可证得∠CNM为二面角C-AD₁-O的平面角，解Rt△CMN即可求出二面角C-AD₁-O的大小．
点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，点到平面间的距离，线面垂直的判定，由于已知中ABCD-A₁B₁C₁D₁为平行六面体不是长方体，很难建立适当的空间坐标系，利用向量法求解，而且已知中垂直的条件比较小，故要想办法多根据已知条件创造出垂直的结论，故本题难度较大．