证明:(I)∵D
1在平面ABCD上的射影为O,
∴OD
1⊥平面ABCD,
∴OD
1⊥OB…(2分)
∵点O为DC的中点,DC=2,
∴OC=1,
又∵BC=1,∠DCB=90°,
∴OB⊥OA…(4分)
∵D
1O∩AO=O,
∴OB⊥平面D
1AO…(5分)
解:(II)∵D
1O⊥平面ABCD,
∴D
1O⊥AD
又∵AD⊥DO,∴AD⊥平面D
1DC
AD?平面ADD
1A
1,
∴平面D
1DO⊥平面ADD
1A
1在平面D
1OD内,作OH⊥DD
1,垂足为H,则OH⊥平面ADD
1A
1.
∴线段OH的长为点O到平面ADD
1A
1的距离…(7分)
∵D
1O⊥平面ABCD,∴DD
1在平面ABCD上的射影为DO.
∴∠D
1DO为侧棱DD
1与平面ABCD所成的角.
∴∠D
1DO=60°…(9分)
在Rt△ODH中,OH=ODsin60°=
.
即:点O到平面ADD
1A
1的距离为
…(10分)
(III)如图,作CM⊥AO于M,作MN⊥AD
1于N,连接CN
∵D
1O⊥平面ABCD,∴D
1O⊥MC
又∵MC⊥AO,∴MC⊥平面AOD
1又∵MN⊥AD
1,AD
1?平面AOD
1,∴CN⊥AD
1∴∠CNM为二面角C-AD
1-O的平面角,…(13分)
在Rt△OCM中,OC=1,∠MOC=45°,∴
.
在△ACD
1中,CD
1=2,
,
取D
1C的中点E,连接AE,则AE⊥D
1C,∴AE=2
∴
,∴
在Rt△CMN中,
∴
.
二面角C-AD
1-O的大小为
.…(16分)
分析:(I)由已知中,顶点D
1在底面ABCD上的射影O是CD的中点,我们根据线面垂直的性质,易得OD
1⊥OB,又及等腰三角形三线合一的性质,可得OB⊥OA,进而由线面垂直的性质得到BO⊥平面D
1AO;
(II)由O到平面ADD
1A
1的距离(I)中结论D
1O⊥平面ABCD,可得D
1O⊥AD,结合AD⊥DO,由线面垂直及面面垂直的判定定理可得平面D
1DO⊥平面ADD
1A
1,则平面D
1OD内,作OH⊥DD
1,垂足为H,则OH即为点O到平面ADD
1A
1的距离,解Rt△ODH,即可得到点O到平面AA
1D
1D的距离;
(III)作CM⊥AO于M,作MN⊥AD
1于N,连接CN,可证得∠CNM为二面角C-AD
1-O的平面角,解Rt△CMN即可求出二面角C-AD
1-O的大小.
点评:本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角,点到平面间的距离,线面垂直的判定,由于已知中ABCD-A
1B
1C
1D
1为平行六面体不是长方体,很难建立适当的空间坐标系,利用向量法求解,而且已知中垂直的条件比较小,故要想办法多根据已知条件创造出垂直的结论,故本题难度较大.