Question

已知在R上的奇函数f（x），当x∈（0，+∞）时，f(x)=

2x

2x+1

，下列说法错误的是（　　）

• A．f(-1)=-

  2

  3

  ，f(0)=0
• B．x∈（-∞，0）时，f(x)=-

  1

  2x+1

• C．若y=f（x）-λ在R上存在零点，则λ∈[-1，-

  1

  2

  )∪(

  1

  2

  ，1]∪{0}
• D．y=f（x）在区间（-1，0]上不是单调递减函数

Answer 1

分析：根据题目给出的奇函数在x∈（0，+∞）时的解析式，求出函数在x=0和x∈（-∞，0）的解析式，即可判断选项B，然后求出f（-1）的值可判断选项A，运用函数单调性得定义可判断选项D，对于选项C，实则是求函数f（x）在R上的值域．

解答：解：因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）=0，
设x∈（-∞，0），则-x∈（0，+∞），则f（x）=-f（-x）=-

2-x

2-x+1

=-

1

2x+1

．由此判断选项B正确；
而f（-1）=-

1

2-1+1

=-

2

3

，所以选项A正确；
因为当x∈（-∞，0）时，2^x∈（0，1），2^x+1∈（1，2），-

1

2x+1

∈(-1，-

1

2

)；当x=0时，f（x）=0；当x∈（0，+∞）时，2^x＞1，0＜

1

2x

＜1，

2x

2x+1

∈(

1

2

，1)．
所以，若y=f（x）-λ在R上存在零点，则λ∈(-1，-

1

2

)∪(

1

2

，1)∪{0}，选项C中多取了-1和1，所以不正确；
设-1＜x₁＜x₂≤0，则f(x1)-f(x2)=-

1

2x1+1

+

1

2x2+1

=

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

，
因为-1＜x₁＜x₂≤0，所以2x1-2x2＜0，所以f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在（-10，]上是增函数，不是单调递减函数，所以选项D正确；
所以说法错误的只有选项C．
故选C．

点评：本题考查了函数的奇偶性的性质，考查了函数值域的求法，考查了函数单调性的定义，解答此题的关键是求出函数在R上的解析式，此题为中档题．