Question

若过点A（0，-1）的直线l与曲线x²+（y-3）²=12有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（　　）

• A、(-

  3

  3

  ， 

  3

  3

  )
• B、[-

  3

  3

  ， 

  3

  )
• C、(-∞， -

  3

  )∪(

  3，

   +∞)
• D、(-∞， -

  3

  3

  ]∪[

  3

  3

  ， +∞)

Answer 1

分析：当直线l的斜率存在时，由直线l过已知点A，写出直线l的方程，然后由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径，因为直线l与圆有公共点，所以圆心到直线的距离小于等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到直线l的斜率k的取值范围．

解答：解：当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，由直线l过（0，-1），
得到直线l的方程为：y+1=kx，即kx-y-1=0，
由圆的方程找出圆心坐标为（0，3），圆的半径r=2

3

，
因为直线l与圆有公共点，所以圆心到直线l的距离d=

|4|

1+k2

≤r=2

3

，
化简得：（k+

3

3

）（k-

3

3

）≥0，可化为：

k+ 3 3 ≥0 k- 3 3 ≥0

或

k+ 3 3 ≤0 k- 3 3 ≤0

，解得：k≥

3

3

或k≤-

3

3

，
则直线l的斜率的取值范围为（-∞，-

3

3

]∪[

3

3

，+∞）．
故选D

点评：此题考查学生掌握直线与圆有公共点时所满足的条件，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．