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9.已知函数f(x)=$\frac{x^2}{2lnkx}$(k≠0)的图象在x=$\sqrt{e}$处的切线垂直于y轴.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值;
(Ⅱ)设函数g(x)=-$\frac{x^2}{2}+alnx+a\;({a>0})$,若对于?x1,x2∈(1,+∞),总有f(x1)≥g(x2)成立,求a的取值范围.

分析 (Ⅰ)求出函数f(x)的导数,解关于导函数的方程,求出函数的单调区间和极值即可;
(Ⅱ)求出函数f(x)的最小值,通过讨论a的范围,判断g(x)的单调性,从而确定a的范围即可.

解答 解:(Ⅰ)∵f(x)的定义域是(0,1)∪(1,+∞),
∴$f'(x)=\frac{{2xlnkx-{x^2}•\frac{1}{x}}}{{2{{ln}^2}kx}}=\frac{{x({2lnkx-1})}}{{2{{ln}^2}kx}}$.
由已知$f'({\sqrt{e}})=0$得k=1,
∴$f(x)=\frac{x^2}{2lnx}$
从而f'(x)、f(x)随x的变化如下表

x(0,1)$({1\;,\;\sqrt{e}})$$\sqrt{e}$$({\sqrt{e}\;,\;+∞})$
f'(x)--0+
f(x)极小
∴f(x)的减区间是(0,1),$({1\;,\;\sqrt{e}})$;f(x)的增区间是$({\sqrt{e}\;,\;+∞})$;$f{(x)_{极小}}=f({\sqrt{e}})=e$,无极大值.
(Ⅱ)由题设,只须g(x)在(1,+∞)上的最大值不大于f(x)的最小值即可.
由(Ⅰ)知,当x>1时,$f(x)_{min}^{\;}=e$.
当x≥1时,..,
(1)若a≤1,则g'(x)≤0,此时,g(x)在(1,+∞)上单调递减,
∴$g(x)≤g(1)=-\frac{1}{2}+a<e$满足题设.
(2)若a>1,则g'(x)=0,得$x=\sqrt{a}$,
当$1<x<\sqrt{a}$时,g'(x)>0;当$x>\sqrt{a}$时,g'(x)<0,
∴$g{(x)_{max}}=g({\sqrt{a}})=-\frac{a}{2}+aln\sqrt{a}=\frac{1}{2}({a+alna})$,
故只须$\frac{1}{2}({a+alna})≤e$.
记$h(x)=\frac{1}{2}({x+xlnx})$(x>1),则$h'(x)=1+\frac{1}{2}lnx>0$,
∴h(x)在(1,+∞)上单调递增,且$h(e)=\frac{1}{2}({e+elne})=e$,
从而,当且仅当a≤e时,有$\frac{1}{2}({a+alna})≤e$.
综上,0<a≤e即为所求.

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,是一道中档题.

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