【题目】已知在四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,且∠BCD=60°,侧面SAB是正三角形,且面SAB⊥面ABCD,F为SD的中点.
(1)证明:SB∥面ACF;
(2)求面SBC与面SAD所成锐二面角的余弦值.
【答案】
(1)证明:连接BD交AC于O,连接OF,
因为ABCD为菱形,所以OB=OD,
又F为SD的中点,所以FO∥SB,
因为FO平面ACF,SB面ACF,
所以SB∥面ACF.
(2)证明:取AB中点M,连接MD,分别以MB、MD、MS为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.
设AB=a,则B( ,0,0),C(a, ,0),A(﹣ ,0,0),D(0, ,0),S(0,0, ),
=( , ,0), =(﹣ ), =( ), =( ),
设面SBC的法向量 ,则 ,
令x′=1,则 .
设面SAD的法向量为 ,则 ,
令x=1,则 .
则cos< >= = ,
所以锐二面角的余弦值为 .
【解析】(1)连接BD交AC于O,连接OF,推导出FO∥SB,由此能证明SB∥面ACF.(2)取AB中点M,连接MD,分别以MB、MD、MS为x,y,z轴,建立空间直角坐系.利用向量法能求出锐二面角的余弦值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识,掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行.
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【题目】某产品关税与市场供应量P的关系近似地满足:P(x)=2 (其中t为关税的税率,且t∈[0, ],x为市场价格,b,k为正常数),当t= 时,市场供应量曲线如图所示:
(1)根据函数图象求k,b的值;
(2)若市场需求量Q,它近似满足Q(x)=2 .当P=Q时的市场价格为均衡价格,为使均衡价格控制在不低于9元的范围内,求税率t的最小值.
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【题目】已知下列四个命题:
p1:若直线l和平面α内的无数条直线垂直,则l⊥α;
p2:若f(x)=2x﹣2﹣x , 则x∈R,f(﹣x)=﹣f(x);
p3:若 ,则x0∈(0,+∞),f(x0)=1;
p4:在△ABC中,若A>B,则sinA>sinB.
其中真命题的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【题目】已知椭圆: ()经过点,且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形.
(1)求椭圆的方程;
(2)动直线: (, )交椭圆于、两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点,使得以为直径的圆恒过点.若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】 某厂生产不同规格的一种产品,根据检测标准,其合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式(为大于的常数),现随机抽取件合格产品,测得数据如下:
尺寸 | ||||||
质量 |
对数据作了初步处理,相关统计量的值如下表:
(1)根据所给数据,求关于的回归方程;
(2)按照某项指标测定,当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品,现从抽取的件合格产品中再任选件,记为取到优等品的件数,试求随机变量的分布列和期望.
附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
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【题目】某池塘中原有一块浮草,浮草蔓延后的面积y(m2)与时间t(月)之间的函数关系是y=at﹣1(a>0,且a≠1),它的图象如图所示.给出以下命题: ①池塘中原有浮草的面积是0.5m2;
②到第7个月浮草的面积一定能超过60m2
③浮草每月增加的面积都相等;
④若浮草面积达到4m2 , 16m2 , 64m2所经过时间分别为t1 , t2 , t3 , 则t1+t2<t3 , 其中所有正确命题的序号是( )
A.①②
B.①④
C.②③
D.②④
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