【答案】
分析:(I)由已知中AB⊥侧面BB
1C
1C,易得AB⊥BC
1,又由
,解△BC
1C得C
1B⊥BC,进而根据线面垂直的判定定理,即可得到C
1B⊥平面ABC;
(Ⅱ)由EA⊥EB
1,AB⊥EB
1,我们易得B
1E⊥平面ABE,BE⊥B
1E,设CE=x,则C
1E=2-x,由余弦定理,我们易判断E为CC
1的中点时,EA⊥EB
1(III)取EB
1的中点D,A
1E的中点F,BB
1的中点N,AB
1的中点M,连DF,DN,MN,MF,则MNDF为矩形,MD∥AE,由A
1B
1⊥EB
1,BE⊥EB
1故∠MDF为所求二面角的平面角,解Rt△DFM中,即可得到二面角A-EB
1-A
1的平面角的正切值.
解答:证明:(Ⅰ)因为AB⊥侧面BB
1C
1C,故AB⊥BC
1在△BC
1C中,
由余弦定理有
故有BC
2+BC
12=CC
12∴C
1B⊥BC
而BC∩AB=B且AB,BC?平面ABC
∴C
1B⊥平面ABC
(Ⅱ)由EA⊥EB
1,AB⊥EB
1,AB∩AE=A,AB,AE?平面ABE
从而B
1E⊥平面ABE且BE?平面ABE故BE⊥B
1E
不妨设CE=x,则C
1E=2-x,则BE
2=1+x
2-x
又∵
则B
1E
2=1+x
2+x
在Rt△BEB
1中有x
2+x+1+x
2-x+1=4从而x=±1(舍负)
故E为CC
1的中点时,EA⊥EB
1(Ⅲ)取EB
1的中点D,A
1E的中点F,BB
1的中点N,AB
1的中点M
连DF则DF∥A
1B
1,连DN则DN∥BE,连MN则MN∥A
1B
1连MF则MF∥BE,且MNDF为矩形,MD∥AE
又∵A
1B
1⊥EB
1,BE⊥EB
1故∠MDF为所求二面角的平面角
在Rt△DFM中,
∴
点评:本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定,直线与平面垂直的性质,二面角的平面角及求法,其中熟练掌握空间直线与平面的平行、垂直的判定、性质、定义及几何特征是解答此类问题的关键.