Question

已知直线y=ax+1与双曲线3x²-y²=1交于A、B两点,

(1)若以AB为直径的圆过坐标原点,求实数a的值;

(2)是否存在这样的实数a,使A、B两点关于直线y=x对称?若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由.

Answer 1

解:(1)由消去y,得(3-a²)x²-2ax-2=0,         ①

依题意

即-＜a＜且a≠±.                                                ②

设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),

则

∵以AB为直径的圆过原点,

∴OA⊥OB.

∴x₁x₂+y₁y₂=0.

但y₁y₂=a²x₁x₂+a(x₁+x₂)+1,

由③④,得

∴

解得a=±1,且满足②.

(2)假设存在实数a,使A、B关于y=x对称,则直线y=ax+1与y=x垂直.

∴a·=-1,即a=-2.

直线l的方程为y=-2x+1.

将a=-2代入③得x₁+x₂=4.

∴AB中点横坐标为2,

纵坐标为y=-2×2+1=-3.

但AB中点(2,-3)不在直线y=x上,

即不存在实数a,使A、B关于直线y=x对称.