Question

20．若关于x的不等式|x-1|+|x-2|＞log₄a²恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-2，2）
• B． （-∞，-2）
• C． （2，﹢∞）
• D． （-2，0）∪（0，2）

Answer 1

分析 若不等式|x-1|+|x-2|＞k恒成立，只需 k小于|x-1|+|x-2|的最小值即可．由绝对值的几何意义，求出|x-1|+|x-2|取得最小值1，得1＞log₄a²求出a的范围．

解答 解：若不等式|x-1|+|x-2|＞log₄a²恒成立，
只需log₄a²小于等于|x-1|+|x-2|的最小值即可．
由绝对值的几何意义，|x-1|+|x-2|表示在数轴上点x到1，2点的距离之和．
当点x在1，2点之间时（包括1，2点），即1≤x≤2时，|x-1|+|x-2|取得最小值1，
∴1＞log₄a²
所以a²＜4，a≠0，解得a∈（-2，0）∪（0，2）．
故选：D．

点评 本题考查不等式恒成立问题，本题中注意到|x-1|+|x-2|有明显的几何意义，即绝对值的几何意义，数形结合使问题轻松获解．