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如图,点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动,则下列结论:①三棱锥A-D1PC的体积不变;②A1P∥平面ACD1;③DP⊥BC1;④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的结论的个数是(  )
A、1个B、2个C、3个D、4个
考点:命题的真假判断与应用
专题:空间位置关系与距离
分析:利用空间中线线、线面、面面间的位置关系,结合线线、线面、面面平行和垂直的判断与性质求解.
解答: 解:对于①,由题意知AD1∥BC1,从而BC1∥平面AD1C,
故BC1上任意一点到平面AD1C的距离均相等,
所以以P为顶点,平面AD1C为底面,则三棱锥A-D1PC的体积不变,故①正确;
对于②,连接A1B,A1C1,A1C1∥AD1且相等,由于①知:AD1∥BC1
所以BA1C1∥面ACD1,从而由线面平行的定义可得,故②正确;
对于③,由于DC⊥平面BCB1C1,所以DC⊥BC1
若DP⊥BC1,则BC1⊥平面DCP,
BC1⊥PC,则P为中点,与P为动点矛盾,故③错误;
对于④,连接DB1,由DB1⊥AC且DB1⊥AD1
可得DB1⊥面ACD1,从而由面面垂直的判定知,故④正确.
故选:C.
点评:本题考查命题真假的判断,解题时要注意三棱锥体积求法中的等积法、线面平行、线线垂直的判定,要注意转化的思想的使用,是中档题.
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