Question

已知动点P与双曲线x²-y²=1的两个焦点F₁，F₂的距离之和为2

3

定值，
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设M（0，-1），若斜率为k（k≠0）的直线l与P点的轨迹交于不同的两点A、B，若要使|MA|=|MB|，试求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据动点P与双曲线x²-y²=1的两个焦点F₁，F₂的距离之和为2

3

定值，可得动点P是以F₁，F₂为焦点的椭圆，从而可求动点P的轨迹方程；
（2）设出直线方程，将直线方程代入椭圆方程，利用|MA|=|MB|，及方程有两个实数根，即可求得k的取值范围．

解答：解：（1）∵x²-y²=1，
∴c=

2

．
∵动点P与双曲线x²-y²=1的两个焦点F₁，F₂的距离之和为2

3

∴|PF₁|+|PF₂|=2

3

∵|F₁F₂|=2

2

，|PF₁|+|PF₂|＞|F₁F₂|
∴动点P是以F₁，F₂为焦点的椭圆，且a=

3

，b=1
∴P点的轨迹方程为

x2

3

+y²=1．
（2）设l：y=kx+m（k≠0），则

x2 3 +y2=1① y=kx+m②

将②代入①得：（1+3k²）x²+6kmx+3（m²-1）=0  （*）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则AB中点Q（x₀，y₀）的坐标满足：
x₀=

x1+x2

2

=

-3km

1+3k2

，y0=kx0+m= 

m

1+3k2

即Q(

-3km

1+3k2

，

m

1+3k2

)
∵|MA|=|MB|，∴M在AB的中垂线上，
∴k•

m 1+3k2 +1

- 3km 1+3k2

=k•

m+1+3k2

-3km

=-1，
∴m=

1+3k2

2

…③
又由于（*）式有两个实数根，知△＞0，
即 （6km）²-4（1+3k²）[3（m²-1）]=12（1+3k²-m²）＞0  ④，
将③代入④得12[1+3k²-（

1+3k2

2

）²]＞0，
解得-1＜k＜1，由k≠0，
∴k的取值范围是k∈（-1，0）∪（0，1）．

点评：本题以双曲线为载体，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查参数范围的求解，解题的关键是直线与椭圆联立，利用韦达定理求解．