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设数列{an}的前n项和为Sn,已知ban-2n=(b-1)Sn.
(1)证明:当b=2时,{ann·2n-1}是等比数列;
(2)求{an}的通项公式.
(1)见解析(2)an
由题意知a1=2,且ban-2n=(b-1)Snban+1-2n+1=(b-1)Sn+1
两式相减得b(an+1an)-2n=(b-1)an+1
an+1ban+2n.①
(1)证明 当b=2时,由①知an+1=2an+2n
于是an+1-(n+1)·2n=2an+2n-(n+1)·2n=2(ann·2n-1),
a1-1·21-1=1≠0,所以{ann·2n-1}是首项为1,公比为2的等比数列.
(2)当b=2时,由(1)知ann·2n-1=2n-1,即an=(n+1)·2n-1;当b≠2时,由①得,an+1·2n+1ban+2n·2n+1ban·2nb,因此an+1·2n+1b·bn
an
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