Question

（1）试作出函数y=x+

1

x

的图象；
（2）对每一个实数x，三个数-x，x，1-x²中最大者记为y，试判断y是否是x的函数？若是，作出其图象，讨论其性质（包括定义域、值域、单调性、最值）；若不是，说明为什么？

Answer 1

分析：先作出x＞0时的f（x）的图象，再根据其为奇函数的性质，作出对称区间上的图象；

解答：解：（1）∵f(x)=x+

1

x

，∴f（x）为奇函数，
从而可以作出x＞0时f（x）的图象，
又∵x＞0时，f（x）≥2，等号当且仅当x=1时取到
∴x=1时，f（x）的最小值为2，图象最低点为（1，2），
又∵f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上是增函数，
同时f(x)=x+

1

x

＞x(x＞0)随着x的增大，f（x）与x的值越来越接近，即以y=x为渐近线，
于是x＞0时，函数的图象应为下①，f（x）图象为图②：

（2）y是x的函数，作出g₁（x）=x，g₂（x）=-x，g₃（x）=1-x²的图象可知，
f（x）的图象是图③中实线部分．定义域为R；值域为[1，+∞）；单
调增区间为[-1，0），[1，+∞）；单调减区间为（-∞，-1），[0，1）；
当x=±1时，函数有最小值1；函数无最大值．

点评：考查奇函数图象的作法，分段函数图象的作法，对作图的准确性要求较高．