Question

【题目】设正项数列{an}的前n项和Sn ， 且满足2Sn=an2+an ．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列bn= + ，数列{bn}的前n项和为Tn ， 求证：Tn＜2n+ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得 ，两式相减得， ，

∴ ，即（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0，

又∵数列{an}为正项数列，∴an﹣an﹣1=1．因此数列{an}为等差数列．

又n=1时， ，∴a1=1，an=1+n﹣1=n

（2）解：证明：由（1）知 ，又 ，

∴

∴

【解析】（1）利用递推关系可得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0，又数列{an}为正项数列，可得an﹣an﹣1=1．再利用等差数列的通项公式即可得出．（2）由（1）知： ，再利用“裂项求和”即可得出．
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和和数列的通项公式，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题．