Question

已知点F（0，1），直线l：y=-1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

，动点P的轨迹为C，已知圆M过定点D（0，2），圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设|DA|=l₁，|DB|=l₂，则

l1

l2

+

l2

l1

的最大值为

2

2

．

Answer 1

分析：设出点P（x，y）代入题中向量等式，整理可得到点P轨迹C的方程为x²=4y．由此设出圆M的方程，求出A、B两点的坐标以及|DA|=l₁，|DB|=l₂的表达式，代入式子

l1

l2

+

l2

l1

整理后利用基本不等式求最值，即可得到答案．

解答：解：设P（x，y），则Q（x，-1），
∵

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

，∴（0，y+1）•（-x，2）=（x，y-1）•（x，-2）．
即2（y+1）=x²-2（y-1），即x²=4y，所以动点P的轨迹C的方程x²=4y．
设圆M的圆心坐标为M（a，b），则a²=4b．…①
圆M的半径为|MD|=

a2+(b-2)2

，圆M的方程为（x-a）²+（y-b）²=a²+（b-2）²．
令y=0，则（x-a）²+b²=a²+（b-2）²，整理得，x²-2ax+4b-4=0．…②
由①、②解得，x=a±2．
不妨设A（a-2，0），B（a+2，0），
∴l₁=

(a-2)2+4

，l₂=

(a+2)2+4

可得

l1

l2

+

l2

l1

=2

(a2+8)2 a4+64

=2

1+ 16a2 a4+64

，…③
当a≠0时，由③得，

l1

l2

+

l2

l1

=2

1+ 16a2 a2+ 64 a2

≤2

1+ 16 2×8

=2

2

，当且仅当a=±2

2

时等号成立．
当a=0时，由③得

l1

l2

+

l2

l1

=2
综上所述，当a=±2

2

时，

l1

l2

+

l2

l1

的最大值为2

2

．
故答案为：2

2

点评：本小题主要考查圆的方程、抛物线方程与简单性质、基本不等式求最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力，属于中档题．