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6.已知函数f(x)=mlnx的图象在点(1,0)处的切线方程为y=x-1,g(x)=a(x-1)且关于x的不等式$f(x)<\frac{g(x)}{2}$在(1,+∞)上恒成立.
(1)求实数a的取值范围;
(2)试比较a与(e-2)lna+2的大小.

分析 (1)求出f(x)的导数,求得切线的斜率,可得m=1,令h(x)=f(x)-$\frac{g(x)}{2}$=lnx-$\frac{1}{2}$a(x-1),x>1,求出导数,讨论a,可得单调性,即可得到a的范围;
(2)设m(x)=x-2-(e-2)lnx(x≥2),求出导数,判断单调性,讨论x的范围,即可比较大小.

解答 解:(1)函数f(x)=mlnx的导数为f′(x)=$\frac{m}{x}$,
由在点(1,0)处的切线方程为y=x-1,
即有m=1,
令h(x)=f(x)-$\frac{g(x)}{2}$=lnx-$\frac{1}{2}$a(x-1),x>1,
h′(x)=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$a=$\frac{2-ax}{2x}$,x>1
①a≤0,x>1,h′(x)>0,h(x)在(1,+∞)递增,
h(x)>h(1)=0,a≤0不合题意;
②当a≥2时,即0<$\frac{2}{a}$≤1时,h′(x)<0在(1,+∞)恒成立,
h(x)递减,h(x)<h(1)=0,a≥2符合题意;
③当0<a<2时,即$\frac{2}{a}$>1,由h′(x)>0可得1<x<$\frac{2}{a}$;
由h′(x)<0可得x>$\frac{2}{a}$.h(x)在(1,$\frac{2}{a}$)递增,在($\frac{2}{a}$,+∞)递减,
即有h($\frac{2}{a}$)>h(1)=0,则0<a<2不合题意.
综上可得a≥2;
(2)设m(x)=x-2-(e-2)lnx(x≥2),m′(x)=1-$\frac{e-2}{x}$=$\frac{x+2-e}{x}$>0,
m(x)在[2,+∞)递增,m(e)=0,
当x∈[2,e)时,m(x)<0,即x-2<(e-2)lnx,即x<(e-2)lnx+2;
当x∈(e,+∞)时,m(x)>0,即x-2>(e-2)lnx,即x>(e-2)lnx+2.
综上可得,当a∈[2,e)时,a<(e-2)lna+2;
当a=e时,a=(e-2)lna+2;
当a∈(e,+∞)时,a>(e-2)lna+2.

点评 本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调区间,考查不等式恒成立问题的解法,注意运用导数判断单调性和分类讨论的思想方法,属于中档题.

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