Question

关于函数f(x)=4sin(2x+

π

3

)，x∈R有下列命题：
①由f（x₁）=f（x₂）=0可知，x₁-x₂必是π的整数倍；
②y=f（x）的表达式可改写为y=4cos(2x-

π

6

)；
③y=f（x）在[-

3π

4

，-

π

2

]单调递减；
④若方程f（x）-m=0在x∈[0，

π

2

]恰有一解，则m∈[-2

3

，2

3

)；
⑤函数y=|f（x）+1|的最小正周期是π，
其中正确的命题序号是

 

．

Answer 1

分析：①f（x₁）=f（x₂）=0⇒x₁-x₂=

k

2

π（k∈Z），从而可判断其正误；
②利用诱导公式可判断②的正误；
③利用正弦函数的单调性可判断③之正误；
④利用正弦函数的性质（单调性与最值）可判断④的正误；
⑤利用两角和的正弦展开，合并之后，利用三角函数的性质判断即可．

解答：解：①，由f（x₁）=f（x₂）=0可知，2x₁+

π

3

=k₁π，2x₂+

π

3

=k₂π，
∴2（x₁-x₂）=（k₁-k₂）π=kπ（k₁、k₂、k均为整数），
∴x₁-x₂=

k

2

π（k∈Z），故x₁-x₂必是π的整数倍是错误的，即①错误；
②，∵f（x）=4sin（2x+

π

3

）=4cos[

π

2

-（2x+

π

3

）]=4cos[（2x+

π

3

）-

π

2

]=4cos（2x-

π

6

），故y=f（x）的表达式可改写为y=4cos（2x-

π

6

），即②正确；
③，由2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）得：kπ+

π

12

≤x≤kπ+（k∈Z），
∴f（x）=4sin（2x+

π

3

）的单调递减区间为[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]（k∈Z），
当k=-1时，f（x）=4sin（2x+

π

3

）的单调递减区间为[-

11π

12

，-

5π

12

]，[-

3π

4

，-

π

2

]⊆[-

11π

12

，-

5π

12

]，
∴y=f（x）在[-

3π

4

，-

π

2

]上单调递减，故③正确；
④，当x∈[0，

π

2

]时，

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，
∴-2

3

≤4sin（2x+

π

3

）≤4，
又方程f（x）-m=0在x∈[0，

π

2

]时只有一解，
∴-2

3

≤m＜2

3

或m=4，故④错误；
⑤，∵y=|sin（2x+

π

3

）|的最小正周期为

π

2

，
∴y=|f（x）+1|=|4sin（2x+

π

3

）+1|的最小正周期为

π

2

，故⑤错误；
综上所述，正确的命题序号是②③．
故答案为：②③．

点评：本题考查正弦函数的性质，着重考查其单调性、对称性、周期性、最值的综合应用，考查推理分析与综合运算能力，属于难题．