已知一个数列的各项都是1或2．首项为1.且在第个1和第个1之间有个2.即1.2.1.2.2.2.1.2.2.2.2.2.1.-．记数列的前项的和为．参考:31×32=992.32×33＝1056.44×45=1980.45×46=2070.2011×2012＝4046132(1)试问第2012个1为该数列的第几项? (2)求和,是否存在正整数.使得?如� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知一个数列

的各项都是1或2．首项为1，且在第

个1和第

个1之间有

个2，即1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…．记数列的前

项的和为

．
参考：31×32=992，32×33＝1056，44×45=1980，45×46=2070，2011×2012＝4046132
（１）试问第2012个1为该数列的第几项？
（２）求

和

；
（３）（特保班做）是否存在正整数

，使得

？如果存在,求出

的值；如果不存在,请说明理由．

（１）4046133（２）

，

（３）存在，

=993+29=1022

本小题关键是读懂题意归纳出规律：将第k个1与第k+1个1前的2记为第k对，即　(1,2)为第1对，共1+1=2项；(1,2,2,2)为第2对，共1+3=4项；….
从而可归纳出

为第k对，共

项, 故前k对共有项数为

.
（1）（2）在此基础上容易解决.
（3）解本小题的关键是确定前k对所在全部项的和为

,问题到此基本得以解决.
解：将第

个1与第

个1前的2记为第

对，
即　

为第1对，共

项；

为第2对，共

项；……；

为第k对，共

项；
故前k对共有项数为

．
（１）第2012个1所在的项之前共有2011对，所以2012个1为该数列的
2011×(2011+1)+1=4046133（项）
（２）因44×45=1980，45×46=2070，

，
故第2012项在第45对中的第32个数，从而

　　　又前2012项中共有45个1，其余2012－45＝1967个数均为2，
于是

（３）前k对所在全部项的和为

，易得，

，

，
即

且自第994项到第1056项均为2，而2012-1954=58能被2整除，
故存在

=993+29=1022，使

．

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