Question

已知数列{a_n}满足：a₁=

1

4

，a₂=

3

4

，a_n+1=2a_n-a_n-1（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}满足b₁＜0，3b_n-b_n-1=n（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求证：数{b_n-a_n}为等比数列；
（Ⅱ）求证：数列{b_n}是单调递增数列；
（Ⅲ）若当且仅当n=3时，S_n取得最小值，求b₁的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）可以先根据数列{a_n}的递推关系式求的数列的通项，再有数列{b_n}满足的关系，将a_n 与b_n作差化简即可获得解答；
（Ⅱ）先结合（Ⅰ）的结论求的通项公式b_n-a_n，又数列{a_n}的通项知道，故可求得数列{b_n}的通项，通过通项研究即可解答；（Ⅲ）结合数列的变化将问题转化为通项的不等关系，解方程组即可获得解答．

解答：解：（Ⅰ）2a_n=a_n+1+a_n-1（n≥2，n∈N*）∴{a_n}是等差数列．
又a₁=

1

4

，a₂=

3

4

，
∴a_n=

1

4

+（n-1）-

1

2

=

2n-1

4

b_n=

1

3

b_n-1+

n

3

（n≥2，n∈N*），
∴b_n+1-a_n+1=

1

3

b_n+

n+1

3

-

2n+1

4

=

1

3

bn-

2n-1

12

=

1

3

（b_n-

2n-1

4

）=

1

3

（b_n-a_n）．
又∵b₁-a₁=b₁-

1

4

≠0
∴{b_n-a_n}是以b₁-

1

4

为首项，以

1

3

为公比的等比数列．
（Ⅱ）b_n-a_n=（b₁-

1

4

）•(

1

3

)n-1a_n=

2n-1

4

，b_n=（b₁-

1

4

）•(

1

3

)n-1+

2n-1

4

．
当n≥2时b_n-b_n-1=

1

2

-

2

3

（b₁-

1

4

）

1

3

n-2
又b₁＜0，∴b_n-b_n-1＞0
∴{b_n}是单调递增数列．
（Ⅲ）∵当且仅当n=3时，S_n取最小值．
∴

b3＜0 b4＞0

即

5 4 +(b1- 1 4 )( 1 3 )2 ＜ 0 7 4 +(b1- 1 4 ) ( 1 3 )3＞ 0

，
∴b₁∈（-47，-11）．

点评：本题考查的是数列的递推公式问题．在解答的过程当中充分体现了运算的能力、函数的思想以及问题转化的能能力．值得同学们体会反思．