Question

某学校为调查高三年学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取80名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（图（1））和女生身高情况的频率分布直方图（图（2））．已知图（1）中身高在170～175cm的男生人数有16人．

（Ⅰ）试问在抽取的学生中，男、女生各有多少人？
（Ⅱ）根据频率分布直方图，完成下列的2×2列联表，并判断能有多大（百分儿）的把握认为“身高与性别有关”？
附：

P（x2≥k）	0.05	0.01
k	3.841	6.635

	≥170cm	＜170cm	总计
男生身高
女生身高
总计

x2=

n(n11n22-n12n21)2

n1+n2+n1+n2

（Ⅲ）在上述80名学生中，从身高在170～175cm之间的学生中按男、女性别分层抽样的方法，抽出5人，从这5人中选派3人当旗手，求3人中恰好有一名女生的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直方图中，求出身高在170～175cm的男生的频率，利用身高在170～175cm的男生人数有16人，可求男生数、女生的人数．
（Ⅱ）男生身高≥170cm的人数=（0.08+0.04+0.02+0.01）×5×40=30，女生身高≥170cm的人数为0.02×5×40=4，从而可得列联表，利用公式，求得K²，与临界值比较后，即可得到结论；
（Ⅲ）在170～175cm之间的男生有16人，女生人数有4人，按分层抽样的方法抽出5人，则男生占4人，女生占1人． 利用列举法确定从5人任选3名的所有可能，3人中恰好有一名女生的所有可能，即可求得概率．

解答：解：（Ⅰ）直方图中，因为身高在170～175cm的男生的频率为0.08×5=0.4，
设男生数为n₁，则0.4=

16

n1

，得n₁=40．
由男生的人数为40，得女生的人数为80-40=40．
（Ⅱ）男生身高≥170cm的人数=（0.08+0.04+0.02+0.01）×5×40=30，
女生身高≥170cm的人数为0.02×5×40=4，
所以可得到下列列联表：

	≥170cm	＜170cm	总计
男生身高	30	10	40
女生身高	4	36	40
总计	34	46	80

K2=

80(30×36-10×4)2

40×40×34×46

≈34.57＞6.635，所以能有99.9%的把握认为身高与性别有关；  
（Ⅲ）在170～175cm之间的男生有16人，女生人数有4人，按分层抽样的方法抽出5人，则男生占4人，女生占1人． 
设男生为A₁，A₂，A₃，A₄，女生为B．
从5人任选3名有：（A₁，A₂，A₃），（A₁，A₂，A₄），（A₁，A₂，B），（A₁，A₃，A₄），（A₁，A₃，B），（A₁，A₄，B），（A₂，A₃，A₄），（A₂，A₃，B），（A₂，A₄，B），（A₃，A₄，B），共10种可能，
3人中恰好有一名女生有：（A₁，A₂，B），（A₁，A₃，B），（A₁，A₄，B），（A₂，A₃，B），（A₂，A₄，B），（A₃，A₄，B），共6种可能，
故所求概率为

6

10

=

3

5

．

点评：本题考查统计知识，考查独立性检验，考查古典概型，解题的关键是读懂直方图，正确计算基本事件的个数