Question

在120°的二面角P-a-Q的两个面P和Q内，分别有点A和点B 已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4，且线段AB=10，
（1）求直线AB和棱a所成的角；
（2）求直线AB和平面Q所成的角．

Answer 1

分析：（1）如图所示，在平面P内作直线AD⊥a于点D，在平面Q内，作直线BE⊥a于点E，过点D作DC⊥a，与从点B作CB∥a相交于点C．∠ABC等于AB和a所成的角，∠ADC为两面角P-a-Q的平面角，
利用余弦定理即可得到AC，由a⊥平面ACD，BC∥a即可得到BC⊥平面ACD，在直角△ABC中求出sin∠ABC即可；
（2）在△ACD所在的平面内，作AF⊥CD交CD的延长线于点F，利用面面垂直的性质即可证明AF⊥平面Q，从而得到∠ABF是直线AB和平面Q所成的角．

解答：解：（1）在平面P内作直线AD⊥a于点D，在平面Q内，作直线BE⊥a于点E，
从点D作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点C．
∴∠ABC等于AB和a所成的角，
∠ADC为两面角P-a-Q的平面角，
∴∠ADC=120°，
又AD=2，BCDE为矩形，∴CD=BE=4．
连接AC，由余弦定理得AC²=AD²+CD²-2AD•CDcos∠ADC=2²+4²-2×2×4×cos120°=28．
∴AC=2

7

．
又∵AD⊥a，CD⊥a，∴a⊥平面ACD，
∵BC∥a，∴BC⊥平面ACD，
∴BC⊥AC．
在直角△ABC中，sin∠ABC=

AC

AB

=

7

5

，
∴∠ABC=arcsin

7

5

．
（2）在△ACD所在的平面内，作AF⊥CD交CD的延长线于点F．
∵平面ACD⊥平面Q，∴AF⊥平面Q．
在△ADF中，∠ADF=60°，AD=2，∴AF=2sin60°=

3

．
连接BF，于是∠ABF是AB和平面Q所成的角，
在△ABF为直角三角形，
∴sin∠ABF=

AF

AB

=

3

10

．∠ABF=arcsin

3

10

．

点评：熟练掌握线面与面面垂直的判定和性质定理、线面角、异面直线所成的角、余弦定理及常作的辅助线是解题的关键．