Question

6．△ABC的顶点的极坐标为A（4，$\frac{4π}{3}$）、B（6，$\frac{5π}{6}$）、C（8，$\frac{7π}{6}$）．
（1）判断△ABC的形状；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，可得直角坐标；
（2）由（1）可得：cosC=$\frac{\frac{1}{2}AC}{BC}$，sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$．可得S_△ABC=$\frac{1}{2}CB•CA$•sinA．

解答 解：（1）由A（4，$\frac{4π}{3}$）、B（6，$\frac{5π}{6}$）、C（8，$\frac{7π}{6}$），利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，可得直角坐标A（-2，-2$\sqrt{3}$），B（-3$\sqrt{3}$，3），C（-4$\sqrt{3}$，-4）．
AB=$\sqrt{（-2+3\sqrt{3}）^{2}+（3+2\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{13}$，AC=$\sqrt{80-32\sqrt{3}}$，BC=2$\sqrt{13}$．∴△ABC是等腰三角形．
（2）由（1）可得：cosC=$\frac{\frac{1}{2}AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{13}}$，∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{13}}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}CB•CA$•sinA=$\frac{1}{2}×2\sqrt{13}×4\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{13}}$=$8\sqrt{10}$．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标、同角三角函数基本关系式、三角形的面积计算公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．