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已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(0,1),且函数f(x)只有一个零点-1.
(1)求f(x)表达式;
(2)当x∈[-2,k]时,求函数f(x)的最小值;
(3)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=5x+m的图象上方,试确定实数m的取值范围.
考点:函数恒成立问题,函数解析式的求解及常用方法,二次函数在闭区间上的最值
专题:压轴题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用
分析:(1)由已知列关于a,b,c的方程组,求解方程组得到a,b,c的值,则函数解析式可求;
(2)分k在二次函数对称轴的两侧求得函数f(x)的最小值;
(3)构造函数令g(x)=f(x)-5x-m=x2-3x+1-m,x∈[-1,1],利用导数求其最小值,由最小值大于0求得m的取值范围.
解答: 解:(1)由二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(0,1),且函数f(x)只有一个零点-1,得
f(0)=c=1
-
b
2a
=-1
f(-1)=a-b+c=0
,解得a=1,b=2,c=1.
∴f(x)=(x+1)2
(2)当x∈[-2,k]时,若-2≤k<-1,f(x)min=(k+1)2
当x≥-1时,f(x)min=0.
f(x)min=
(k+1)2,-2≤k<-1
0,k≥-1

(3)令g(x)=f(x)-5x-m=x2-3x+1-m,x∈[-1,1],
则g′(x)=2x-3,
当x∈[-1,1]时g′(x)≤0恒成立,
∴g(x)在[-1,1]上为减函数,
g(x)min=1-3+1-m=-1-m,
由-1-m>0,得m<-1.
点评:本题考查了函数解析式的求解及常用方法,考查了二次函数最值得求法,训练了利用导数求函数的最值,体现了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法,是压轴题.
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